Nécessaire ou suffisant ?

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 1 — Raisonnement, ensembles et applications · Logique et quantificateurs

Énoncé

Dans chaque cas, dire si la première condition est nécessaire, suffisante, les deux, ou ni l'une ni l'autre pour la seconde.

« $x = 2$ » pour « $x^{2} = 4$ ».
« $x^{2} = 4$ » pour « $x = 2$ ».
« $x > 0$ » pour « $x \geq 0$ ».

Corrigé

1. $x = 2$ entraîne $x^{2} = 4$ : la condition est suffisante. Elle n'est pas nécessaire, car $x = - 2$ donne aussi $x^{2} = 4$ .

2. C'est la réciproque de la précédente : $x^{2} = 4$ est nécessaire pour $x = 2$ , mais pas suffisante ( $x$ pourrait valoir $- 2$ ).

3. $x > 0$ entraîne $x \geq 0$ : suffisante. Pas nécessaire, car $x = 0$ vérifie $x \geq 0$ sans vérifier $x > 0$ .

Remarque. Les points 1 et 2 montrent qu'échanger les deux membres échange « nécessaire » et « suffisant ». C'est la même implication, lue de l'autre bout.

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