Nier une phrase qui commence par « tous »

La règle est celle du cours : la négation échange $\forall$ et $\exists$, et nie ce qui suit.

1. La phrase dit « pour tout article $a$ du rayon, $a$ est soldé ». Sa négation est « il existe un article du rayon qui n'est pas soldé », c'est-à-dire

> Au moins un article du rayon n'est pas soldé.

Attention : ce n'est pas « aucun article n'est soldé ». Un seul article non soldé suffit à mettre la phrase en défaut.

2. La phrase dit « il existe un fournisseur qui a livré en retard ». Sa négation est

> Tous les fournisseurs ont livré à l'heure (aucun n'a livré en retard).

3. La phrase dit « pour tout dossier $d$, $d$ est complet et signé ». On nie le $\forall$, puis le « et », dont la négation est un « ou » :

> Il existe un dossier qui est incomplet ou non signé.

Le point délicat est ce dernier passage du « et » au « ou ». Un dossier suffit à mettre la phrase en défaut, et il lui suffit de manquer à une des deux exigences — il n'a pas besoin de manquer aux deux.