Nier une proposition quantifiée

La règle est unique : nier une proposition quantifiée, c'est échanger les quantificateurs ($\forall$ devient $\exists$, $\exists$ devient $\forall$) puis nier ce qui suit.

1. La proposition dit : pour tout client, le nombre de commandes est au moins $1$. Sa négation est donc : « il existe un client de l'agence qui n'a passé aucune commande cette année. » Ce n'est pas « aucun client n'a passé de commande » : un seul contre-exemple suffit à faire tomber un « pour tout ».

2. Négation : $\exists x\in \mathbb{R},x^2+x+1\le 0$. C'est la proposition de départ qui est vraie : en mettant sous forme canonique, $$x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}.$$ Un carré est positif ou nul, donc cette somme vaut au moins $\frac{3}{4}>0$, et cela pour tout réel $x$. La négation est fausse.

3. Négation : $\forall n\in \mathbb{N},n^2\ne 2n$. C'est la proposition de départ qui est vraie : $n^2=2n$ s'écrit $n(n-2)=0$, donc $n=0$ ou $n=2$, et ces deux entiers conviennent. Un seul exemple suffisait.

Le point à retenir. Prouver un « il existe », c'est exhiber un objet ; prouver un « pour tout », c'est un raisonnement sur une lettre quelconque. Les deux tâches ne se ressemblent pas, et la négation fait passer de l'une à l'autre.