Quatre ensembles de multiples

1. En extension. $$A=\{2,4,6,8,10,12\},B=\{3,6,9,12\},C=\{4,8,12\}.$$

2. Les opérations. $A\cap B$ réunit les nombres qui sont à la fois dans les deux listes : $A\cap B=\{6,12\}$, c'est-à-dire les multiples de $6$. $A\cup B$ réunit ceux qui sont dans l'une au moins : $A\cup B=\{2,3,4,6,8,9,10,12\}$. $\overline{B}$ est formé des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $B$ : $\overline{B}=\{1,2,4,5,7,8,10,11\}$. Enfin $B\cap C=\{12\}$ : seul $12$ est à la fois multiple de $3$ et de $4$.

3. Poincaré. On compte : $\mathrm{Card}(A)=6$, $\mathrm{Card}(B)=4$, $\mathrm{Card}(A\cap B)=2$. La formule annonce $$\mathrm{Card}(A\cup B)=6+4-2=8,$$ et la liste écrite à la question 2 compte effectivement $8$ éléments. La soustraction est nécessaire : sans elle, $6$ et $12$ seraient comptés deux fois, une fois dans $A$ et une fois dans $B$.

4. L'inclusion vraie. C'est $C\subset A$ : tout multiple de $4$ s'écrit $4k=2\times (2k)$, donc est multiple de $2$. On le lit aussi sur les listes, chaque élément de $\{4,8,12\}$ figurant dans $A$.

Les deux autres sont fausses : $2\in A$ et $2\notin C$ ; $4\in C$ et $4\notin B$. Un seul contre-exemple suffit dans chaque cas.