Reconnaître une application

1. $f(x)=3x-1$ : application et bijection. Tout réel a une image. L'équation $3x-1=y$ a l'unique solution $x=\frac{y+1}{3}$ : chaque réel a un antécédent et un seul. Donc $f$ est bijective, de réciproque $f^{-1}(y)=\frac{y+1}{3}$.

2. $g(x)=x^2$ : application, mais pas bijection. Tout réel a bien une image. En revanche $-1$ n'a aucun antécédent (un carré n'est jamais négatif), et $4$ en a deux, $2$ et $-2$. Les deux conditions sont violées.

3. $h$ : ce n'est pas une application. Deux raisons, chacune suffisante : pour $x=-1$ il n'existe aucun $y$ tel que $y^2=-1$ ; et pour $x=4$, il en existe deux, $2$ et $-2$, si bien que $h(4)$ ne désigne rien de précis.

La règle. Une application doit associer à chaque départ exactement une arrivée : ni zéro, ni deux.