Reconnaître une application

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 1 — Raisonnement, ensembles et applications · Applications

Énoncé

Parmi les correspondances suivantes de $R$ dans $R$ , lesquelles sont des applications ? Lesquelles sont des bijections ?

$f (x) = 3 x - 1$ .
$g (x) = x^{2}$ .
$h$ qui à $x$ associe un réel $y$ tel que $y^{2} = x$ .

Corrigé

1. $f (x) = 3 x - 1$ : application et bijection. Tout réel a une image. L'équation $3 x - 1 = y$ a l'unique solution $x = \frac{y + 1}{3}$ : chaque réel a un antécédent et un seul. Donc $f$ est bijective, de réciproque $f^{- 1} (y) = \frac{y + 1}{3}$ .

2. $g (x) = x^{2}$ : application, mais pas bijection. Tout réel a bien une image. En revanche $- 1$ n'a aucun antécédent (un carré n'est jamais négatif), et $4$ en a deux, $2$ et $- 2$ . Les deux conditions sont violées.

3. $h$ : ce n'est pas une application. Deux raisons, chacune suffisante : pour $x = - 1$ il n'existe aucun $y$ tel que $y^{2} = - 1$ ; et pour $x = 4$ , il en existe deux, $2$ et $- 2$ , si bien que $h (4)$ ne désigne rien de précis.

La règle. Une application doit associer à chaque départ exactement une arrivée : ni zéro, ni deux.

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