Un barème à deux tranches est-il bijectif ?

1. La bijection. Montrer que $f$ est bijective de $[0;+\infty [$ sur $[0;+\infty [$, c'est montrer que tout montant $y\ge 0$ admet un seul antécédent $x\ge 0$. On résout donc l'équation $f(x)=y$, en discutant.

Premier cas : $0\le y\le 300$. Cherchons $x$ dans $[0;10]$ : $30x=y$ donne $x=\frac{y}{30}$, et l'on a bien $0\le \frac{y}{30}\le 10$. Il faut vérifier qu'aucune solution ne se cache dans l'autre tranche : pour $x>10$, $f(x)=300+45(x-10)>300\ge y$, donc aucune. L'antécédent existe et il est unique.

Second cas : $y>300$. Aucun $x$ de $[0;10]$ ne convient, car alors $f(x)=30x\le 300<y$. Pour $x>10$, l'équation $300+45(x-10)=y$ donne $$x=10+\frac{y-300}{45},$$ qui est bien strictement supérieur à $10$ puisque $y-300>0$. Là encore l'antécédent existe et il est unique.

Tout $y\ge 0$ a donc un antécédent et un seul : $f$ est bijective, et $$f^{-1}(y)=\frac{y}{30}\text{ si }0\le y\le 300,f^{-1}(y)=10+\frac{y-300}{45}\text{ si }y>300.$$

Le point délicat est le raccord : les deux tranches donnent la même valeur $300$ en $x=10$. Si elles avaient donné deux valeurs différentes, certains montants n'auraient eu aucun antécédent et $f$ ne serait pas bijective.

2. Les deux antécédents. $480>300$ donc $f^{-1}(480)=10+\frac{180}{45}=10+4=14$ heures. Contrôle : $300+45\times 4=480$. Et $210\le 300$ donc $f^{-1}(210)=\frac{210}{30}=7$ heures. Contrôle : $30\times 7=210$.