Un contre-exemple, et un seul

Un seul suffit. Prenons $x=0,5$ : alors $x^2=0,25$, et $0,25<0,5$. La proposition est fausse.

Pourquoi un seul. La proposition commence par « pour tout » ; sa négation est « il existe un réel $x$ tel que $x^2<x$ ». Exhiber un tel $x$, c'est démontrer la négation — donc réfuter l'énoncé. En ajouter d'autres n'ajoute rien.

Où l'énoncé est vrai. On peut vérifier que $x^2\ge x$ dès que $x\le 0$ ou $x\ge 1$ : l'énoncé n'est faux que sur $\left]0,1\right[$. Mais cela ne le sauve pas : « pour tout » ne souffre aucune exception.