Un tableau croisé d'effectifs

Notons $I$ l'ensemble des dossiers incomplets et $G$ celui des dossiers arrivés en agence.

Contrôle préalable. La somme des quatre cases vaut $186+54+134+26=400$ : le tableau décrit bien la totalité des dossiers, et chacun n'est compté qu'une fois. C'est le premier contrôle à faire, et il détecte la plupart des erreurs de lecture.

1. Les deux effectifs. Les incomplets se lisent sur la colonne de droite : $$\mathrm{Card}(I)=54+26=80.$$ Les dossiers d'agence se lisent sur la seconde ligne : $$\mathrm{Card}(G)=134+26=160.$$ L'intersection est la case commune à cette ligne et à cette colonne : $\mathrm{Card}(I\cap G)=26$.

2. La réunion. « Incomplet ou venu d'une agence » désigne $I\cup G$. On peut la compter directement en additionnant les trois cases concernées, sans jamais compter deux fois la case commune : $$\mathrm{Card}(I\cup G)=54+134+26=214.$$

3. Poincaré. La formule du cours annonce $$\mathrm{Card}(I\cup G)=\mathrm{Card}(I)+\mathrm{Card}(G)-\mathrm{Card}(I\cap G)=80+160-26=214.$$ Les deux comptes coïncident. Le retranchement de $26$ est exactement ce qui répare le double comptage des dossiers d'agence incomplets, présents une fois dans $\mathrm{Card}(I)$ et une fois dans $\mathrm{Card}(G)$.

Au passage, $400-214=186$ dossiers ne sont ni incomplets ni venus d'une agence : c'est bien la case en haut à gauche.