Un tarif est-il bijectif ?

1. Dire que $f$ est bijective, c'est dire que tout réel $y$ possède un antécédent et un seul. Résolvons donc l'équation $f(x)=y$ d'inconnue $x$ : $$25x+180=y⟺25x=y-180⟺x=\frac{y-180}{25}.$$ Cette chaîne d'équivalences montre à la fois l'existence de la solution (elle est écrite) et son unicité (c'est la seule). Donc $f$ est bijective, et sa réciproque est $$f^{-1}(y)=\frac{y-180}{25}.$$ Elle a un sens concret : à partir du montant facturé, elle rend le nombre d'heures.

2. $g$ n'est pas bijective, et elle échoue deux fois :

• elle n'est pas injective, car $g(-3)=g(3)=9$ : le réel $9$ a deux antécédents ;
• elle n'est pas surjective, car $-1$ n'a aucun antécédent : un carré n'est jamais négatif.

En revanche, de $[0;+\infty [$ dans $[0;+\infty [$, l'équation $x^2=y$ avec $x\ge 0$ et $y\ge 0$ a pour unique solution $x=\sqrt{y}$. La fonction est alors bijective, de réciproque la racine carrée.

Le point à retenir. La bijectivité n'est pas une propriété de la « formule » : elle dépend de l'ensemble de départ et de l'ensemble d'arrivée. Restreindre l'un ou l'autre peut rendre bijective une application qui ne l'était pas.