Une distributivité à démontrer

Démontrer une égalité de deux ensembles $X$ et $Y$, c'est démontrer les deux inclusions $X\subset Y$ et $Y\subset X$. On dispose pour cela d'un seul outil : la traduction de $\cup$ par « ou » et de $\cap$ par « et ».

Première inclusion : $A\cup (B\cap C)\subset (A\cup B)\cap (A\cup C)$. Soit $x\in A\cup (B\cap C)$. Deux cas, qui couvrent toute la situation.

Cas 1 : $x\in A$. Alors $x\in A\cup B$ et $x\in A\cup C$, puisqu'il suffit d'appartenir à l'un des deux morceaux d'une réunion. Donc $x$ est dans l'intersection de ces deux réunions.

Cas 2 : $x\in B\cap C$. Alors $x\in B$, donc $x\in A\cup B$ ; et $x\in C$, donc $x\in A\cup C$. Là encore $x$ appartient à l'intersection.

Dans les deux cas la conclusion est acquise, donc l'inclusion est démontrée.

Seconde inclusion : $(A\cup B)\cap (A\cup C)\subset A\cup (B\cap C)$. Soit $x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$ : on sait donc que $x\in A\cup B$ et que $x\in A\cup C$. Discutons selon que $x$ est dans $A$ ou non.

Si $x\in A$, alors $x\in A\cup (B\cap C)$ et c'est fini.

Si $x\notin A$, alors de $x\in A\cup B$ on tire $x\in B$, et de $x\in A\cup C$ on tire $x\in C$. Donc $x\in B\cap C$, et par suite $x\in A\cup (B\cap C)$.

Conclusion. Les deux inclusions étant établies, les deux ensembles sont égaux. Le point délicat est la disjonction du second cas : c'est le fait d'écarter $A$ qui force l'appartenance à $B$ et à $C$.