Une inclusion vue comme une intersection

Une équivalence se démontre par deux implications, et une égalité d'ensembles par deux inclusions. Nous aurons donc trois inclusions à écrire, dont une est gratuite.

Sens direct. Supposons $A\subset B$, et montrons $A\cap B=A$ par double inclusion.

• $A\cap B\subset A$ : c'est vrai pour toutes parties, sans hypothèse — un élément de $A\cap B$ est en particulier élément de $A$.
• $A\subset A\cap B$ : soit $x\in A$. Comme $A\subset B$, on a aussi $x\in B$. Donc $x$ appartient à $A$ et à $B$, c'est-à-dire $x\in A\cap B$.

Les deux inclusions donnent $A\cap B=A$.

Sens réciproque. Supposons $A\cap B=A$, et montrons $A\subset B$. Soit $x\in A$. Par l'hypothèse, $A$ et $A\cap B$ sont le même ensemble, donc $x\in A\cap B$. En particulier $x\in B$. Ceci valant pour tout $x$ de $A$, on a $A\subset B$.

Les deux sens étant établis, l'équivalence est démontrée.

Le point à retenir. Le point délicat est de ne pas confondre les deux sens : dans l'un, l'inclusion est l'hypothèse ; dans l'autre, elle est la conclusion. Et la moitié d'une égalité d'ensembles est souvent gratuite — repérer laquelle fait gagner la moitié du travail.