Une récurrence

Raisonnement, ensembles et applications · Modes de démonstration · niveau 2

Énoncé

Démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ : $1 + 3 + 5 + \dots + (2 n - 1) = n^{2}$ .

Initialisation. Pour $n = 1$ : la somme vaut $1$ , et $1^{2} = 1$ . Acquise.

Hérédité. Supposons la formule vraie pour un $n \geq 1$ fixé. Le terme suivant est $2 (n + 1) - 1 = 2 n + 1$ , donc

$1 + 3 + \dots + (2 n - 1) + (2 n + 1) = n^{2} + 2 n + 1 = (n + 1)^{2},$

qui est la formule au rang $n + 1$ .

Conclusion. Par récurrence, l'égalité vaut pour tout $n \geq 1$ .

Vérification. Pour $n = 4$ : $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$ . Pour $n = 5$ : $16 + 9 = 25 = 5^{2}$ .