Une somme qui se simplifie

Notons $S_n$ la somme du membre de gauche et $\mathcal{P}(n)$ la propriété « $S_n=\frac{n}{n+1}$ ».

Initialisation. Pour $n=1$, la somme se réduit à son premier terme : $S_1=\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$, et $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité. Supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour un entier $n\ge 1$ fixé. Par définition, $S_{n+1}$ s'obtient en ajoutant à $S_n$ le terme de rang $n+1$, qui est $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ : $$S_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}.$$ Réduisons au même dénominateur $(n+1)(n+2)$ : $$S_{n+1}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}.$$ Le numérateur est l'identité remarquable $(n+1{)}^2$. En simplifiant par le facteur $n+1$, qui n'est pas nul, $$S_{n+1}=\frac{(n+1{)}^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2},$$ c'est-à-dire la formule au rang $n+1$.

Le point délicat est là : sans reconnaître $n^2+2n+1=(n+1{)}^2$, la simplification n'apparaît pas et le calcul s'arrête.

Conclusion. Par récurrence, $S_n=\frac{n}{n+1}$ pour tout $n\ge 1$.

Application. $S_{99}=\frac{99}{100}=0,99$. Cent termes tous positifs, et une somme qui n'atteint pas $1$.