Une somme strictement positive

1. Par contraposée. L'implication à démontrer est $P\Rightarrow Q$ ; sa contraposée est $\text{non }Q\Rightarrow \text{non }P$, et le théorème du cours dit que les deux ont la même valeur de vérité. Écrivons donc ces négations.

La négation d'un « ou » est un « et » : $\text{non }Q$ s'écrit « $a\le 0$ et $b\le 0$ ». Et $\text{non }P$ s'écrit « $a+b\le 0$ ».

Supposons $a\le 0$ et $b\le 0$. Une inégalité supporte l'addition membre à membre, donc $a+b\le 0+0=0$. C'est exactement $\text{non }P$. La contraposée est démontrée, donc $P\Rightarrow Q$ aussi.

Pourquoi passer par la contraposée. L'hypothèse « $a+b>0$ » ne se découpe pas : elle ne dit rien sur $a$ ni sur $b$ pris séparément. Sa négation, elle, donne deux inégalités que l'on peut additionner. C'est le critère habituel : on contrapose quand la négation est plus maniable.

2. La réciproque est fausse. Elle s'écrit : « si $a>0$ ou $b>0$, alors $a+b>0$ ». Un contre-exemple suffit : $a=5$ et $b=-10$. Alors $Q$ est vraie (car $a>0$) tandis que $a+b=-5\le 0$, donc $P$ est fausse.

3. Avec l'hypothèse supplémentaire. Supposons $a$ et $b$ de même signe et $Q$ vraie : l'un des deux est strictement positif, donc le signe commun est le signe positif, donc $a\ge 0$ et $b\ge 0$ avec l'un des deux strictement positif. En ajoutant, $a+b>0$. Sous cette hypothèse la réciproque devient vraie, et $P$ et $Q$ sont alors équivalentes.