Vraies ou fausses ?

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 1 — Raisonnement, ensembles et applications · Propositions, implications et négations

Énoncé

Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, en justifiant d'un mot.

1. $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ . 2. $\forall x \in R, x^{2} > 0$ . 3. $\exists n \in N, n + 3 = 1$ . 4. $\exists x \in R, x + 3 = 1$ .

Corrigé

1. Vraie. Un carré de réel est toujours positif ou nul : si $x \geq 0$ le produit $x \times x$ est positif, et si $x < 0$ le produit de deux nombres négatifs est positif. Aucune exception, donc le « pour tout » tient.

2. Fausse. Un seul contre-exemple suffit à abattre un « pour tout » : pour $x = 0$ , $x^{2} = 0$ , qui n'est pas strictement positif. Inutile d'en chercher d'autres — et il n'y en a d'ailleurs pas.

3. Fausse. L'équation $n + 3 = 1$ donne $n = - 2$ , qui n'est pas un entier naturel. Comme aucun $n$ de $N$ ne convient, le « il existe » est mis en défaut.

4. Vraie. Le même calcul donne $x = - 2$ , et $- 2$ appartient bien à $R$ . Pour prouver un « il existe », il suffit d'exhiber un élément : $x = - 2$ convient, et $- 2 + 3 = 1$ .

Ce qu'il faut retenir. Les propositions 3 et 4 s'écrivent avec la même équation ; seul l'ensemble où l'on cherche change, et il change la réponse. On lit donc toujours l'ensemble avant l'équation.

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