Vraies ou fausses ?

1. Vraie. Un carré de réel est toujours positif ou nul : si $x\ge 0$ le produit $x\times x$ est positif, et si $x<0$ le produit de deux nombres négatifs est positif. Aucune exception, donc le « pour tout » tient.

2. Fausse. Un seul contre-exemple suffit à abattre un « pour tout » : pour $x=0$, $x^2=0$, qui n'est pas strictement positif. Inutile d'en chercher d'autres — et il n'y en a d'ailleurs pas.

3. Fausse. L'équation $n+3=1$ donne $n=-2$, qui n'est pas un entier naturel. Comme aucun $n$ de $\mathbb{N}$ ne convient, le « il existe » est mis en défaut.

4. Vraie. Le même calcul donne $x=-2$, et $-2$ appartient bien à $\mathbb{R}$. Pour prouver un « il existe », il suffit d'exhiber un élément : $x=-2$ convient, et $-2+3=1$.

Ce qu'il faut retenir. Les propositions 3 et 4 s'écrivent avec la même équation ; seul l'ensemble où l'on cherche change, et il change la réponse. On lit donc toujours l'ensemble avant l'équation.