Amortir un matériel

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 — Fonctions logarithme et exponentielle · Applications économiques

Énoncé

Un matériel perd $15 %$ de sa valeur chaque année. Au bout de combien d'années vaut-il moins de $10 %$ de sa valeur d'achat ?

Corrigé

Mise en équation. La valeur au bout de $n$ ans est $V_{n} = V_{0} \times 0, 8 5^{n}$ . On cherche le plus petit entier $n$ tel que $0, 8 5^{n} \leq 0, 1$ .

Résolution. En passant au logarithme : $n ln (0, 85) \leq ln (0, 1)$ . Attention, $ln (0, 85) \approx - 0, 16252$ est négatif : diviser par lui renverse l'inégalité. D'où

$n \geq \frac{ln ( 0 , 1 )}{ln ( 0 , 85 )} = \frac{- 2 , 302585}{- 0 , 162519} \approx 14, 17.$

Conclusion. Il faut $15$ années.

Contrôle. $0, 8 5^{14} \approx 0, 1028 > 0, 1$ et $0, 8 5^{15} \approx 0, 0874 \leq 0, 1$ .

Le piège. Oublier le changement de sens de l'inégalité donne $n \leq 14, 17$ , donc $n = 14$ — une réponse fausse d'un an, et une faute qui ne se voit pas sans le contrôle numérique.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.