Comparer une puissance et une exponentielle

La fonction auxiliaire. Posons $g(x)=\frac{x}{\mathrm{e}}-\ln x$ sur $\left]0,+\infty \right[$. Montrer l'inégalité revient à montrer $g(x)\ge 0$.

Variations.

$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\mathrm{e}}-\frac{1}{x}=\frac{x-\mathrm{e}}{\mathrm{e}x}.$$

Comme $\mathrm{e}x>0$, le signe de $g^{\prime }$ est celui de $x-\mathrm{e}$ : négatif sur $\left]0,\mathrm{e}\right[$, positif sur $\left]\mathrm{e},+\infty \right[$. La fonction $g$ décroît puis croît, et atteint son minimum en $x=\mathrm{e}$.

La valeur du minimum. $g(\mathrm{e})=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}}-\ln \mathrm{e}=1-1=0$.

Le minimum vaut donc $0$, d'où $g(x)\ge 0$ pour tout $x>0$, c'est-à-dire

$$\ln x\le \frac{x}{\mathrm{e}}.$$

La déduction. Multiplions par $\mathrm{e}>0$, ce qui conserve le sens : $\mathrm{e}\ln x\le x$. Or, par définition de la puissance d'exposant réel, $\mathrm{e}\ln x=\ln \left(x^{\mathrm{e}}\right)$ ; et $x=\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)$. Donc

$$\ln \left(x^{\mathrm{e}}\right)\le \ln \left({\mathrm{e}}^x\right).$$

La fonction $\ln$ étant strictement croissante, on peut la « retirer » des deux côtés : $x^{\mathrm{e}}\le {\mathrm{e}}^x$ pour tout $x>0$.

Contrôle. Pour $x=2$ : $2^{\mathrm{e}}\approx 6,58$ et ${\mathrm{e}}^2\approx 7,39$. Pour $x=3$ : $3^{\mathrm{e}}\approx 19,81$ et ${\mathrm{e}}^3\approx 20,09$. L'égalité n'a lieu qu'en $x=\mathrm{e}$, là où le minimum était atteint.

Le point à retenir. Pour comparer deux quantités strictement positives, on compare leurs logarithmes. Et une inégalité se démontre en étudiant la fonction « différence » : ici son minimum vaut exactement zéro, ce qui rend l'inégalité optimale.