Deux inéquations

Première inéquation : le domaine d'abord. Le logarithme n'est défini que sur $\left]0,+\infty \right[$, donc il faut $2x-1>0$, soit $x>\frac{1}{2}$.

Sur ce domaine, écrivons $1=\ln \mathrm{e}$. L'inéquation devient $\ln (2x-1)<\ln \mathrm{e}$. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, elle conserve le sens des inégalités :

$$2x-1<\mathrm{e}⟺x<\frac{1+\mathrm{e}}{2}.$$

En croisant avec le domaine : $S=\left]\frac{1}{2};\frac{1+\mathrm{e}}{2}\right[$, et $\frac{1+\mathrm{e}}{2}\approx 1,859$.

Seconde inéquation. L'exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier : pas de domaine à poser. Les deux membres étant strictement positifs, on peut prendre le logarithme, lui aussi croissant :

$${\mathrm{e}}^{-x}\ge 0,05⟺-x\ge \ln 0,05⟺x\le -\ln 0,05.$$

Le passage à la dernière ligne multiplie par $-1$ : le sens s'inverse. Enfin $-\ln 0,05=\ln 20\approx 2,996$, donc $S=\left]-\infty ;\ln 20\right]$.

Contrôle. ${\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,0498<0,05$ : $x=3$ est bien exclu. ${\mathrm{e}}^{-2,9}\approx 0,0550\ge 0,05$ : $x=2,9$ est bien inclus.

Le point à retenir. Deux réflexes, dans cet ordre : le domaine, puis le sens. $\ln$ et $\exp$ sont croissantes et conservent le sens ; c'est la multiplication par un nombre négatif qui le renverse.