Deux limites qui sont des nombres dérivés

La forme. Les deux quotients sont de la forme $\frac{0}{0}$ : numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $0$. Aucune factorisation ne s'impose ; en revanche, chacun est un taux d'accroissement, et le nombre dérivé en donne la limite.

La première limite. Posons $g(x)=\ln x$. Comme $g(1)=\ln 1=0$, $$\frac{\ln x}{x-1}=\frac{g(x)-g(1)}{x-1}.$$ C'est le taux d'accroissement de $g$ entre $1$ et $x$. La fonction $\ln$ est dérivable en $1$, de dérivée $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, donc $g^{\prime }(1)=1$. Par définition du nombre dérivé, la limite quand $x\to 1$ vaut $1$.

La seconde limite. Posons $u(h)={\mathrm{e}}^h$. Comme $u(0)=1$, $$\frac{{\mathrm{e}}^h-1}{h}=\frac{u(h)-u(0)}{h-0},$$ taux d'accroissement de $u$ entre $0$ et $h$. L'exponentielle est dérivable et égale à sa dérivée, donc $u^{\prime }(0)={\mathrm{e}}^0=1$ : la limite vaut $1$.

Contrôle. $\frac{\ln (1,01)}{0,01}\approx \frac{0,00995}{0,01}=0,995$ ; $\frac{{\mathrm{e}}^{0,01}-1}{0,01}\approx \frac{0,010050}{0,01}=1,005$. Les deux approchent bien $1$.

Une lecture utile. Ces deux limites disent que, près de $0$, $\ln (1+h)\approx h$ et ${\mathrm{e}}^h\approx 1+h$ : c'est ce qui justifie l'approximation « un taux de $3\%$ donne $\ln (1,03)\approx 0,03$ », employée dans la règle des $70$.