Deux logarithmes de part et d'autre

Le domaine, écrit avant de résoudre. Les deux logarithmes n'existent que si $$3-x>0\text{et}x+1>0,$$ c'est-à-dire $x<3$ et $x>-1$. On travaille donc sur $\left]-1;3\right[$, et rien hors de cet intervalle ne pourra être solution.

La comparaison. Sur ce domaine, les deux quantités $3-x$ et $x+1$ sont strictement positives. La fonction $\ln$ étant strictement croissante, elle conserve l'ordre : $$\ln (3-x)\le \ln (x+1)⟺3-x\le x+1.$$

Résolution de l'inéquation obtenue. $3-x\le x+1$ donne $2\le 2x$, soit $x\ge 1$.

Intersection avec le domaine. Il faut à la fois $x\ge 1$ et $-1<x<3$. L'ensemble des solutions est donc $$\left[1;3\right[.$$

Contrôle. Pour $x=1$ : $\ln 2\le \ln 2$, vrai (cas d'égalité). Pour $x=2$ : $\ln 1=0\le \ln 3\approx 1,10$, vrai. Pour $x=0$ : $\ln 3\approx 1,10\le \ln 1=0$, faux — et $0$ est bien exclu.

Le point délicat. La valeur $x=5$ vérifie $3-x\le x+1$, mais $\ln (-2)$ n'existe pas : sans l'écriture préalable du domaine, on l'aurait comptée parmi les solutions.