Doubler un capital

Mise en équation. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $1,035^n\ge 2$.

Résolution. En passant au logarithme, $n\ln (1,035)\ge \ln 2$, donc

$$n\ge \frac{\ln 2}{\ln (1,035)}=\frac{0,693147}{0,034401}\approx 20,15.$$

Conclusion. Il faut $21$ années.

Contrôle. $1,035^{20}\approx 1,9898<2$ et $1,035^{21}\approx 2,0594\ge 2$.

Ordre de grandeur. La règle des $70$ donne $70/3,5=20$ : proche, mais insuffisante pour trancher entre $20$ et $21$. On ne conclut jamais sur une approximation quand la réponse est un entier.