Factoriser par le terme qui domine

La première limite. ${\mathrm{e}}^x\to +\infty$ et $x^3\to +\infty$ : c'est la forme indéterminée $(+\infty )-(+\infty )$. On factorise par le terme dont on sait qu'il l'emporte : $${\mathrm{e}}^x-x^3={\mathrm{e}}^x\left(1-\frac{x^3}{{\mathrm{e}}^x}\right).$$ Par croissances comparées, $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^3}\to +\infty$, donc $\frac{x^3}{{\mathrm{e}}^x}\to 0$ et la parenthèse tend vers $1$. Comme ${\mathrm{e}}^x\to +\infty$, le produit tend vers $+\infty$.

La deuxième limite. Même forme indéterminée. On factorise par $x$ : $$x-2\ln x=x\left(1-\frac{2\ln x}{x}\right).$$ Par croissances comparées, $\frac{\ln x}{x}\to 0$, donc la parenthèse tend vers $1$, et le produit vers $+\infty$.

La troisième limite. Quand $x\to 0^{+}$, $\sqrt{x}\to 0$ et $\ln x\to -\infty$ : c'est la forme $0\times (-\infty )$. En écrivant $\sqrt{x}=x^{1/2}$, on reconnaît la limite admise $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^{\alpha }\ln x=0$ avec $\alpha =\frac{1}{2}>0$. Donc $\sqrt{x}\ln x\to 0$.

Contrôle numérique. Pour $x=10$ : ${\mathrm{e}}^{10}-1000\approx 21026$. Pour $x=100$ : $100-2\ln 100\approx 90,8$. Pour $x=0,0001$ : $0,01\times (-9,21)\approx -0,092$, déjà proche de $0$.

Ce qu'il faut retenir. Devant une différence indéterminée, on ne compare pas les termes de tête à vue : on factorise par celui dont le théorème dit qu'il gagne, et la parenthèse tranche.