Le prix qui maximise la recette

La fonction à étudier. $R(p)=500p{\mathrm{e}}^{-0,2p}$ sur $\left]0,+\infty \right[$.

La dérivée. C'est un produit, et la dérivée de ${\mathrm{e}}^{-0,2p}$ vaut $-0,2{\mathrm{e}}^{-0,2p}$ :

$$R^{\prime }(p)=500({\mathrm{e}}^{-0,2p}+p\times (-0,2){\mathrm{e}}^{-0,2p})=500{\mathrm{e}}^{-0,2p}(1-0,2p).$$

Le signe. $500{\mathrm{e}}^{-0,2p}>0$ toujours : le signe de $R^{\prime }$ est celui de $1-0,2p$, positif pour $p<5$, négatif pour $p>5$.

Conclusion. $R$ croît sur $\left]0,5\right]$ puis décroît sur $[5,+\infty [$ : la recette est maximale pour un prix de $5$ euros. Elle vaut alors

$$R(5)=500\times 5\times {\mathrm{e}}^{-1}=\frac{2500}{\mathrm{e}}\approx 919,70\text{ euros},$$

pour une demande $D(5)=500{\mathrm{e}}^{-1}\approx 184$ unités.

Lecture économique. Augmenter le prix rapporte plus par unité mais fait fuir les clients. Le maximum est le point où les deux effets se compensent exactement, et l'annulation de la dérivée le localise. On remarquera que le prix optimal, $5$, est l'inverse du coefficient $0,2$ qui règle la fuite de la demande : plus les clients sont sensibles au prix, plus le prix optimal est bas.

Le point à retenir. Un maximum de recette ne se devine pas sur la demande : il se calcule sur le produit prix $\times$ quantité, et le facteur exponentiel, toujours positif, ne joue aucun rôle dans le signe.