Où ces expressions ont-elles un sens ?

La règle unique. $\ln (u)$ n'existe que si $u>0$ ; l'exponentielle, elle, est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier et n'impose jamais de condition.

La fonction $f$. La condition est $x-3>0$, soit $x>3$. L'ensemble de définition est $\left]3;+\infty \right[$.

La fonction $g$. La condition est $5-2x>0$, soit $5>2x$, donc $x<\frac{5}{2}$. L'ensemble de définition est $\left]-\infty ;\frac{5}{2}\right[$. Attention au sens de l'inégalité : on divise par $2$, qui est positif, mais l'inconnue était du côté droit.

La fonction $h$. L'exponentielle n'impose rien ; le logarithme impose $x>0$. L'ensemble de définition est donc $\left]0;+\infty \right[$.

Contrôle. $f(4)=\ln 1=0$ existe, $f(3)$ et $f(2)$ n'existent pas. $g(2)=\ln 1=0$ existe, $g(3)=\ln (-1)$ n'existe pas. $h(1)=\mathrm{e}+0\approx 2,718$ existe, $h(0)$ et $h(-1)$ n'existent pas.

Ce qu'il faut retenir. L'ensemble de définition s'écrit avant toute étude : dérivée, variations et limites n'ont de sens que là où la fonction existe.