Quand la petite entreprise dépasse-t-elle la grande ?

Les deux suites. Au bout de $n$ années,

$$A_n=12\times (1,03{)}^n\text{et}{B}_n=5\times (1,11{)}^n.$$

L'inéquation. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $B_n>A_n$ :

$$5\times (1,11{)}^n>12\times (1,03{)}^n.$$

Divisons par $5\times (1,03{)}^n$, qui est strictement positif et ne change donc pas le sens :

$${\left(\frac{1,11}{1,03}\right)}^n>\frac{12}{5}=2,4.$$

Le logarithme fait descendre l'exposant. $\ln$ est strictement croissante, donc l'inéquation équivaut à $n\ln \left(\frac{1,11}{1,03}\right)>\ln 2,4$. Comme $\frac{1,11}{1,03}\approx 1,0777>1$, son logarithme est positif : en divisant, le sens est conservé.

$$n>\frac{\ln 2,4}{\ln \left(\frac{1,11}{1,03}\right)}\approx \frac{0,8755}{0,0748}\approx 11,70.$$

Le plus petit entier qui convient est donc $n=12$ : c'est au bout de douze années.

Contrôle. Pour $n=11$ : $A_{11}\approx 16,61$ et $B_{11}\approx 15,76$ millions — A est encore devant. Pour $n=12$ : $A_{12}\approx 17,11$ et $B_{12}\approx 17,49$ — B est passée devant.

Le point à retenir. On ne compare pas deux taux, on compare le rapport des deux suites : quotient de deux suites géométriques, il est encore géométrique, de raison le quotient des raisons. C'est cette suite-là qu'on fait franchir un seuil, et le logarithme fait le reste.