Quatre croissances comparées

1. $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^3}\to +\infty$ : c'est le théorème avec $\alpha =3$. L'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

2. $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}=\frac{\ln x}{x^{1/2}}\to 0$ : le théorème avec $\alpha =\frac{1}{2}$. Toute puissance l'emporte sur le logarithme.

3. $x^2\ln x\to 0$ quand $x\to 0^{+}$ : c'est le cas au voisinage de zéro, avec $\alpha =2$.

4. $x^2{\mathrm{e}}^x\to 0$ quand $x\to -\infty$ : c'est le dernier énoncé du théorème avec $n=2$.

Le classement à retenir. À l'infini, $\ln$ est plus lent que toute puissance, et toute puissance est plus lente que l'exponentielle.