Quatre croissances comparées

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 — Fonctions logarithme et exponentielle · Croissances comparées et inégalités

Énoncé

Déterminer : $x \to + \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{3}}$ ; $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x}$ ; $x \to 0^{+} lim x^{2} ln x$ ; $x \to - \infty lim x^{2} e^{x}$ .

Corrigé

1. $\frac{e ^{x}}{x ^{3}} \to + \infty$ : c'est le théorème avec $α = 3$ . L'exponentielle l'emporte sur toute puissance.

2. $\frac{ln x}{x} = \frac{ln x}{x ^{1/2}} \to 0$ : le théorème avec $α = \frac{1}{2}$ . Toute puissance l'emporte sur le logarithme.

3. $x^{2} ln x \to 0$ quand $x \to 0^{+}$ : c'est le cas au voisinage de zéro, avec $α = 2$ .

4. $x^{2} e^{x} \to 0$ quand $x \to - \infty$ : c'est le dernier énoncé du théorème avec $n = 2$ .

Le classement à retenir. À l'infini, $ln$ est plus lent que toute puissance, et toute puissance est plus lente que l'exponentielle.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.