Quatre équations élémentaires

Le principe. Les deux fonctions étant réciproques l'une de l'autre : ${\mathrm{e}}^x=k$ équivaut à $x=\ln k$ (pour $k>0$), et $\ln x=k$ équivaut à $x={\mathrm{e}}^k$.

Première équation. ${\mathrm{e}}^x=5$ donne $x=\ln 5\approx 1,609$.

Deuxième équation. $\ln x=-2$ n'a de sens que pour $x>0$, et donne $x={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135$, qui est bien strictement positif.

Troisième équation. ${\mathrm{e}}^{3x}=4$ donne $3x=\ln 4$, donc $x=\frac{\ln 4}{3}\approx 0,462$. On peut aussi écrire $\frac{\ln 4}{3}=\frac{2\ln 2}{3}$.

Quatrième équation. $\ln (2x)=1$ exige $2x>0$, soit $x>0$, et donne $2x={\mathrm{e}}^1=\mathrm{e}$, donc $x=\frac{\mathrm{e}}{2}\approx 1,359$, qui vérifie bien $x>0$.

Contrôle. ${\mathrm{e}}^{1,609}\approx 5,00$ ; $\ln (0,135)\approx -2,00$ ; ${\mathrm{e}}^{3\times 0,462}={\mathrm{e}}^{1,386}\approx 4,00$ ; $\ln (2\times 1,359)=\ln (2,718)\approx 1,00$. Les quatre solutions conviennent.