Retrouver un taux annuel moyen

Mise en équation. Si le taux annuel moyen est $t$, trois années de croissance multiplient le chiffre d'affaires par $(1+t{)}^3$ : $$100\times (1+t{)}^3=133,1,\text{donc}(1+t{)}^3=1,331.$$

Résolution. On prend le logarithme des deux membres, tous deux strictement positifs : $$3\ln (1+t)=\ln (1,331),\text{donc}\ln (1+t)=\frac{\ln (1,331)}{3}.$$ Or $\ln (1,331)\approx 0,285931$, donc $\ln (1+t)\approx 0,095310$ et $$1+t={\mathrm{e}}^{0,095310}\approx 1,100.$$

Conclusion. Le taux annuel moyen vaut $t\approx 0,10$, soit $10\%$ par an.

Contrôle. $100\times 1,1^3=100\times 1,331=133,1$ : on retombe exactement sur la valeur finale.

Le point délicat. La hausse totale est de $33,1\%$ en trois ans, et le taux moyen n'est pas $33,1/3\approx 11,03\%$. Les taux ne s'additionnent pas, ils se multiplient : c'est pourquoi le taux moyen est la racine cubique du coefficient global, et non sa moyenne arithmétique.