Tout exprimer avec un seul logarithme

La règle employée. Pour $a>0$ et $n$ entier, $\ln (a^n)=n\ln a$ ; et $\ln \left(\sqrt{a}\right)=\frac{1}{2}\ln a$. Il suffit donc d'écrire chaque nombre comme une puissance de $2$.

Les cinq calculs. $\ln 4=\ln (2^2)=2\ln 2$. $\ln 8=\ln (2^3)=3\ln 2$. $\ln \left(\frac{1}{2}\right)=\ln (2^{-1})=-\ln 2$ — on peut aussi l'obtenir par $\ln 1-\ln 2=0-\ln 2$. $\ln \left(\sqrt{2}\right)=\frac{1}{2}\ln 2$. $\ln 32=\ln (2^5)=5\ln 2$.

Contrôle numérique. Avec $\ln 2\approx 0,693147$ : $2\ln 2\approx 1,386$ et $\ln 4\approx 1,386$ ; $5\ln 2\approx 3,466$ et $\ln 32\approx 3,466$. Les valeurs concordent.

Ce qu'il faut retenir. Le logarithme change les puissances en produits et les produits en sommes. Toute la famille $\ln 2$, $\ln 4$, $\ln 8$, $\ln 16$… n'est donc qu'une suite de multiples d'un même nombre : c'est exactement ce qui rendait les tables de logarithmes si utiles avant les calculatrices.