Trois dérivées

Les deux formules employées. Pour $u$ dérivable : $({\mathrm{e}}^u{)}^{\prime }=u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$, et si $u>0$, $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$. Le troisième calcul, lui, est un produit.

La fonction $f$. Ici $u(x)=3x$, donc $u^{\prime }(x)=3$ et $$f^{\prime }(x)=3{\mathrm{e}}^{3x}.$$

La fonction $g$. Ici $u(x)=2x+1$, strictement positive sur l'intervalle donné, et $u^{\prime }(x)=2$ : $$g^{\prime }(x)=\frac{2}{2x+1}.$$

La fonction $h$. C'est un produit, dérivé par $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ avec $u(x)=x$ et $v(x)={\mathrm{e}}^x$ : $$h^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^x+x\times {\mathrm{e}}^x=(1+x){\mathrm{e}}^x.$$

Contrôle par une valeur. En $x=0$ : $f^{\prime }(0)=3$, et le taux $\frac{{\mathrm{e}}^{0,003}-1}{0,001}\approx 3,0$ le confirme. De même $h^{\prime }(0)=1$, et $h$ passe de $0$ à $0,0011$ entre $0$ et $0,001$.

Le point délicat. $({\mathrm{e}}^{3x}{)}^{\prime }$ n'est pas ${\mathrm{e}}^{3x}$ : le facteur $u^{\prime }$ ne disparaît jamais. C'est lui qui distingue une exponentielle composée d'une exponentielle simple.