Un capital placé à deux pour cent

La valeur au bout de dix ans. Chaque année, le capital est multiplié par $1,02$. Au bout de $n$ années il vaut $C_n=5000\times (1,02{)}^n$, donc $$C_{10}=5000\times (1,02{)}^{10}\approx 5000\times 1,218994\approx 6095\text{euros}.$$

Mise en inéquation du doublement. Le capital a doublé lorsque $5000\times (1,02{)}^n\ge 10000$, c'est-à-dire $$(1,02{)}^n\ge 2.$$

Faire descendre l'inconnue de l'exposant. Les deux membres sont strictement positifs, et $\ln$ est strictement croissante : $$n\ln (1,02)\ge \ln 2.$$ Comme $\ln (1,02)\approx 0,019803$ est positif, on divise sans changer le sens : $$n\ge \frac{\ln 2}{\ln (1,02)}\approx \frac{0,693147}{0,019803}\approx 35,003.$$

Conclusion. Le seuil réel est légèrement supérieur à $35$ : comme $n$ est entier, il faut $36$ années.

Contrôle. $(1,02{)}^{35}\approx 1,99989<2$ et $(1,02{)}^{36}\approx 2,03989\ge 2$ : au bout de $35$ ans le capital n'a pas tout à fait doublé. La règle des $70$ annonçait $70/2=35$ ; elle donne ici le bon ordre de grandeur mais pas la réponse, et c'est le contrôle sur les puissances qui tranche.