Un logarithme composé

Domaine. Pour tout réel $x$, $x^2+1\ge 1>0$ : la quantité dont on prend le logarithme est toujours strictement positive, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ tout entier — c'est rare pour un logarithme, et cela tient au $+1$.

Dérivée. Avec $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ pour $u>0$, et $u(x)=x^2+1$, $u^{\prime }(x)=2x$ : $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}.$$

Variations. Le dénominateur est strictement positif : le signe de $f^{\prime }$ est celui de $2x$. Donc $f$ décroît sur $\left]-\infty ;0\right]$ et croît sur $\left[0;+\infty \right[$.

Valeur minimale. Elle est atteinte en $0$ et vaut $f(0)=\ln 1=0$. Ainsi $f(x)\ge 0$ pour tout réel $x$, avec égalité au seul point $0$.

Limites. Quand $x\to +\infty$, $x^2+1\to +\infty$ et $\ln X\to +\infty$ quand $X\to +\infty$ : donc $f(x)\to +\infty$. Comme $f(-x)=f(x)$, la fonction est paire, et la limite en $-\infty$ vaut aussi $+\infty$.

Contrôle. $f(1)=\ln 2\approx 0,693$, $f(3)=\ln 10\approx 2,303$, $f(100)=\ln (10001)\approx 9,21$. La croissance est réelle mais très lente : c'est celle du logarithme.