Un maximum en e

Dérivée. $g^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\times x-\ln x\times 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$.

Signe. $x^2>0$, donc $g^{\prime }(x)$ a le signe de $1-\ln x$ : positif pour $x<\mathrm{e}$, négatif pour $x>\mathrm{e}$. La fonction croît puis décroît : elle atteint un maximum en $x=\mathrm{e}$.

Valeur. $g(\mathrm{e})=\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,368$.

Limites. En $0^{+}$ : $\ln x\to -\infty$ et $\frac{1}{x}\to +\infty$, donc $g(x)\to -\infty$. En $+\infty$ : croissances comparées, $g(x)\to 0$.

Une conséquence célèbre. Comme $g(3)\approx 0,366$ est supérieur à $g(\pi )\approx 0,364$, on en déduit $\pi \ln 3>3\ln \pi$, c'est-à-dire $3^{\pi }>{\pi }^3$.