Un produit où l'exponentielle finit par gagner

Signe. ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ et $x^2\ge 0$ : $f$ est positive sur $\mathbb{R}$, et ne s'annule qu'en $x=0$.

Dérivée. $$f^{\prime }(x)=2x{\mathrm{e}}^{-x}+x^2\times (-{\mathrm{e}}^{-x})={\mathrm{e}}^{-x}\left(2x-x^2\right)=x(2-x){\mathrm{e}}^{-x}.$$

Signe de la dérivée. Le facteur ${\mathrm{e}}^{-x}$ est strictement positif : le signe de $f^{\prime }$ est celui du trinôme $x(2-x)$, qui est négatif à l'extérieur de ses racines $0$ et $2$, positif entre elles. Donc $f$ décroît sur $\left]-\infty ;0\right]$, croît sur $[0;2]$, décroît sur $\left[2;+\infty \right[$.

Extremums. $f$ admet un minimum local en $0$, avec $f(0)=0$ — c'est même le minimum global, puisque $f\ge 0$ — et un maximum local en $2$, avec $f(2)=4{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,541$.

Limite en $+\infty$. $f(x)=\frac{x^2}{{\mathrm{e}}^x}$, et par croissances comparées $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x^2}\to +\infty$ : donc $f(x)\to 0$. C'est le point remarquable : le carré part vers $+\infty$, et l'exponentielle l'écrase quand même.

Limite en $-\infty$. Ici $x^2\to +\infty$ et ${\mathrm{e}}^{-x}\to +\infty$ : le produit tend vers $+\infty$, sans indétermination.

Contrôle. $f(2)\approx 0,541$, $f(5)=25{\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,168$, $f(10)=100{\mathrm{e}}^{-10}\approx 0,0045$ : la décroissance vers $0$ est lente mais nette, conformément au théorème.