Un système avec un logarithme

Le domaine, avant tout calcul. $\ln x$ et $\ln y$ n'existent que si $x>0$ et $y>0$. Toute solution devra vérifier ces deux conditions.

Traduction de la première ligne. Pour $x>0$ et $y>0$, $\ln x+\ln y=\ln (xy)$. L'équation devient $\ln (xy)=\ln 12$, et comme $\ln$ est strictement croissante donc injective, cela équivaut à $xy=12$.

Le système équivalent. On cherche donc deux réels strictement positifs de somme $7$ et de produit $12$. Ce sont les racines de $$X^2-7X+12=0.$$ Le discriminant vaut $49-48=1$, et les racines sont $X=\frac{7-1}{2}=3$ et $X=\frac{7+1}{2}=4$.

Les solutions. Les couples possibles sont $(3;4)$ et $(4;3)$. Tous deux ont leurs deux composantes strictement positives : ils sont recevables.

Contrôle. $\ln 3+\ln 4=\ln 12$ et $3+4=7$ : les deux équations sont vérifiées, et le second couple s'en déduit par symétrie.

Le point délicat. Le système est symétrique en $x$ et $y$ : il a donc deux solutions, et n'en donner qu'une serait une réponse incomplète. Enfin, $\ln x+\ln y$ ne vaut $\ln (x+y)$ à aucun moment : c'est le produit, et lui seul, que le logarithme transforme en somme.