Un taux annuel moyen

Exercice · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 — Fonctions logarithme et exponentielle · Applications économiques

Énoncé

Le chiffre d'affaires d'une entreprise passe de $2$ à $6$ millions d'euros en cinq ans. Quel est le taux de croissance annuel moyen ? Peut-on dire qu'il a augmenté de $40 %$ par an, puisque $200 %$ en cinq ans ?

Corrigé

Mise en équation. Le chiffre d'affaires est multiplié par $3$ , donc $(1 + t)^{5} = 3$ .

Résolution. $5 ln (1 + t) = ln 3$ , donc

$1 + t = e^{\frac{l n 3}{5}} = e^{0, 219722} \approx 1, 24573, t \approx 24, 57 %.$

Contrôle. $2 \times 1, 2457 3^{5} \approx 6, 00$ millions.

Non, on ne peut pas dire $40 %$ . Les taux ne s'additionnent pas : ils se multiplient. Un taux de $40 %$ pendant cinq ans donnerait $1, 4^{5} \approx 5, 378$ , soit un chiffre d'affaires de $10, 76$ millions — bien au-delà des $6$ attendus.

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