Un taux mensuel équivalent à un taux annuel

Mise en équation. Placer douze mois de suite au taux mensuel $t$ multiplie le capital par $(1+t{)}^{12}$. On veut que ce facteur soit celui de l'année : $$(1+t{)}^{12}=1,06.$$

Faire descendre l'inconnue de l'exposant. Les deux membres sont strictement positifs ; on prend le logarithme : $$12\ln (1+t)=\ln (1,06),\text{donc}\ln (1+t)=\frac{\ln (1,06)}{12}.$$ Puis on applique l'exponentielle, réciproque du logarithme : $$1+t={\mathrm{e}}^{\frac{\ln (1,06)}{12}}.$$

Calcul. $\ln (1,06)\approx 0,0582689$, donc l'exposant vaut $0,00485574$ et $1+t\approx {\mathrm{e}}^{0,00485574}\approx 1,0048675$. Le taux mensuel équivalent est $$t\approx 0,48675\%,\text{soit environ }0,487\%.$$

Comparaison avec $\frac{6\%}{12}=0,5\%$. Ce taux est plus élevé que le taux équivalent. En effet, douze mois à $0,5\%$ donnent $$(1,005{)}^{12}\approx 1,061678,$$ soit $6,17\%$ sur l'année et non $6\%$.

Pourquoi cet écart. Les taux ne s'additionnent pas : ils se multiplient. Diviser un taux annuel par $12$ ignore les intérêts que les intérêts produisent au fil des mois, et surestime donc le taux mensuel.

Contrôle. $(1,0048675{)}^{12}\approx 1,060000$ : le taux trouvé redonne bien exactement $6\%$ sur l'année.