Une dépréciation en temps continu

La valeur au bout de cinq ans. $$V(5)=40000{\mathrm{e}}^{-0,6}\approx 40000\times 0,548812\approx 21952\text{euros}.$$ La machine a perdu un peu plus de $45\%$ de sa valeur en cinq ans.

Mise en inéquation. On cherche les $t>0$ tels que $$40000{\mathrm{e}}^{-0,12t}<15000.$$ En divisant par $40000$, qui est positif : ${\mathrm{e}}^{-0,12t}<0,375$.

Faire descendre l'inconnue. La fonction $\ln$ est strictement croissante, donc conserve le sens de l'inégalité : $$-0,12t<\ln (0,375).$$ Or $\ln (0,375)\approx -0,980829$.

Division par un nombre négatif. On divise les deux membres par $-0,12$, qui est négatif : le sens de l'inégalité change. $$t>\frac{-0,980829}{-0,12}\approx 8,17.$$

Conclusion. La machine vaut moins de $15000$ euros à partir d'environ $8,17$ années, c'est-à-dire dès la neuvième année si l'on compte en années entières.

Contrôle. $V(8)=40000{\mathrm{e}}^{-0,96}\approx 15316$ euros, encore au-dessus du seuil ; $V(9)=40000{\mathrm{e}}^{-1,08}\approx 13584$ euros, en dessous. L'encadrement confirme le calcul.