Une équation avec deux logarithmes

Domaine. Il faut $x>0$ et $x-1>0$, donc $x>1$.

Résolution. Sur ce domaine, l'équation s'écrit $\ln (x(x-1))=\ln 6$. Comme $\ln$ est strictement croissante, elle est injective, d'où $x(x-1)=6$, soit $x^2-x-6=0$.

Le discriminant vaut $1+24=25$, et les racines sont $x=3$ et $x=-2$.

Conclusion. Seule $x=3$ appartient au domaine : c'est l'unique solution.

Contrôle. $\ln 3+\ln 2=\ln 6$ : l'égalité est vérifiée.