Une équation du second degré déguisée

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 — Fonctions logarithme et exponentielle · Calculs, équations et inéquations

Énoncé

Résoudre $e^{2 x} - 3 e^{x} + 2 = 0$ .

Corrigé

Le changement d'écriture. Posons $X = e^{x}$ , qui est strictement positif. Comme $e^{2 x} = (e^{x})^{2} = X^{2}$ , l'équation devient $X^{2} - 3 X + 2 = 0$ .

Les racines. Le discriminant vaut $9 - 8 = 1$ , d'où $X = 1$ ou $X = 2$ . Les deux sont strictement positives : aucune n'est à rejeter.

Retour à $x$ . $e^{x} = 1$ donne $x = 0$ ; $e^{x} = 2$ donne $x = ln 2 \approx 0, 693$ .

Contrôle. Pour $x = 0$ : $1 - 3 + 2 = 0$ . Pour $x = ln 2$ : $4 - 6 + 2 = 0$ .

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