Une exponentielle décroissante multipliée par un polynôme

Dérivée. $f$ est un produit ; avec ${\left({\mathrm{e}}^{-x}\right)}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^{-x}$ : $$f^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^{-x}+(x+1)\times (-{\mathrm{e}}^{-x})={\mathrm{e}}^{-x}(1-(x+1))=-x{\mathrm{e}}^{-x}.$$

Signe et variations. ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ pour tout réel $x$ : le signe de $f^{\prime }$ est donc celui de $-x$. Ainsi $f^{\prime }(x)>0$ pour $x<0$ et $f^{\prime }(x)<0$ pour $x>0$ : $f$ est croissante sur $\left]-\infty ;0\right]$ puis décroissante sur $\left[0;+\infty \right[$.

Extremum. $f$ admet donc un maximum en $x=0$, et $f(0)=1\times {\mathrm{e}}^0=1$. Pour tout réel $x$, $(x+1){\mathrm{e}}^{-x}\le 1$.

Limite en $+\infty$. On écrit $f(x)=\frac{x+1}{{\mathrm{e}}^x}=\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}$. Par croissances comparées, $\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}\to +\infty$, donc $\frac{x}{{\mathrm{e}}^x}\to 0$ ; et $\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}\to 0$. Donc $f(x)\to 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale.

Limite en $-\infty$. Cette fois $x+1\to -\infty$ et ${\mathrm{e}}^{-x}\to +\infty$ : le produit tend vers $-\infty$. Il n'y a aucune indétermination.

Contrôle. $f(-1)=0$, $f(0)=1$, $f(1)=2{\mathrm{e}}^{-1}\approx 0,736$, $f(5)=6{\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,040$ : la fonction monte jusqu'en $0$, redescend, et s'écrase sur l'axe.