Une fonction avec un logarithme

Dérivée. $f^{\prime }(x)=\ln x+x\times \frac{1}{x}=\ln x+1$.

Signe. $f^{\prime }(x)>0⟺\ln x>-1⟺x>{\mathrm{e}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}$. Donc $f$ décroît sur $\left]0,\frac{1}{\mathrm{e}}\right]$ et croît ensuite.

Minimum. $f\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=\frac{1}{\mathrm{e}}\times (-1)=-\frac{1}{\mathrm{e}}\approx -0,368$, atteint en $\frac{1}{\mathrm{e}}\approx 0,368$.

Limites. En $+\infty$, $f(x)\to +\infty$ (produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$). En $0^{+}$, la forme est $0\times (-\infty )$ : c'est le théorème des croissances comparées qui tranche, $x\ln x\to 0$.

Lecture. La courbe part de l'origine, plonge jusqu'à $-1/\mathrm{e}$, puis remonte indéfiniment.