Une fonction avec une exponentielle

La dérivée. $f$ est un produit de deux fonctions dérivables :

$$f^{\prime }(x)=1\times {\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x(1+x-1)=x{\mathrm{e}}^x.$$

Le signe. ${\mathrm{e}}^x>0$ pour tout réel $x$, donc $f^{\prime }(x)$ a le signe de $x$ : négative sur $\left]-\infty ,0\right[$, nulle en $0$, positive sur $\left]0,+\infty \right[$.

Les variations. $f$ décroît sur $\left]-\infty ,0\right]$ puis croît sur $[0,+\infty [$. Elle atteint donc un minimum en $x=0$, et

$$f(0)=(0-1)\times {\mathrm{e}}^0=-1.$$

Limite en $+\infty$. $x-1\to +\infty$ et ${\mathrm{e}}^x\to +\infty$, donc $f(x)\to +\infty$ par produit.

Limite en $-\infty$. Développons : $f(x)=x{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x$. Par croissances comparées, $x{\mathrm{e}}^x\to 0$ quand $x\to -\infty$ ; et ${\mathrm{e}}^x\to 0$. Donc $f(x)\to 0$. Comme $f(x)<0$ pour $x<1$, la courbe approche l'axe des abscisses par en dessous : cet axe est asymptote horizontale en $-\infty$.

Quelques valeurs de contrôle. $f(1)=0$ : la courbe coupe l'axe en $x=1$, et c'est le seul point d'annulation puisque ${\mathrm{e}}^x$ ne s'annule jamais. $f(2)={\mathrm{e}}^2\approx 7,39$.

Le point à retenir. Dériver un produit dont un facteur est ${\mathrm{e}}^x$ fait toujours apparaître ${\mathrm{e}}^x$ en facteur. Comme il est strictement positif, tout le signe de la dérivée se lit sur l'autre facteur — ici le simple $x$.