Une hausse puis une baisse du même pourcentage

Les deux coefficients. Une hausse de $20\%$ multiplie par $1,20$ ; une baisse de $20\%$ multiplie par $0,80$. Le coefficient global est donc $$1,20\times 0,80=0,96.$$

La réponse. Le prix final n'est pas égal au prix initial : il en vaut $96\%$. La variation globale est une baisse de $4\%$. Un prix de $100$ euros passe à $120$ euros, puis à $120\times 0,8=96$ euros.

Pourquoi. La baisse de $20\%$ s'applique au prix déjà augmenté, donc à $120$ euros, et retire $24$ euros, alors que la hausse n'en avait ajouté que $20$. Les pourcentages ne portent pas sur la même base : c'est ce qui interdit de les additionner.

Le taux moyen. Il vérifie $(1+t{)}^2=0,96$, donc $$\ln (1+t)=\frac{\ln (0,96)}{2}\approx \frac{-0,040822}{2}=-0,020411,$$ puis $1+t={\mathrm{e}}^{-0,020411}\approx 0,979796$. Le taux moyen vaut environ $-2,02\%$ par période.

Contrôle. $(0,979796{)}^2\approx 0,960000$ : le taux moyen redonne bien le coefficient global.