Une inconnue en exposant d'elle-même

Ce que signifie l'écriture. Pour $x>0$ et $\alpha$ réel, la définition d'une puissance d'exposant réel est $x^{\alpha }={\mathrm{e}}^{\alpha \ln x}$. Ici $\alpha =\ln x$, donc $$x^{\ln x}={\mathrm{e}}^{(\ln x)(\ln x)}={\mathrm{e}}^{(\ln x{)}^2}.$$

L'équation devient une égalité d'exponentielles. $${\mathrm{e}}^{(\ln x{)}^2}={\mathrm{e}}^4.$$ La fonction exponentielle est strictement croissante, donc injective : deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants le sont. D'où $$(\ln x{)}^2=4.$$

Résolution. Un carré vaut $4$ lorsque le nombre vaut $2$ ou $-2$ : $$\ln x=2\text{ou}\ln x=-2,$$ c'est-à-dire $x={\mathrm{e}}^2$ ou $x={\mathrm{e}}^{-2}$. Les deux sont strictement positifs, donc recevables.

Contrôle. Pour $x={\mathrm{e}}^2$ : $\ln x=2$ et $x^{\ln x}={\left({\mathrm{e}}^2\right)}^2={\mathrm{e}}^4$. Pour $x={\mathrm{e}}^{-2}$ : $\ln x=-2$ et $x^{\ln x}={\left({\mathrm{e}}^{-2}\right)}^{-2}={\mathrm{e}}^4$. Les deux conviennent.

Le point délicat. Oublier la racine négative $\ln x=-2$ ferait perdre la moitié des solutions. Une équation en $(\ln x{)}^2$ a deux issues, exactement comme $X^2=4$.