Une inégalité fondamentale

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 10 — Fonctions logarithme et exponentielle · Croissances comparées et inégalités

Énoncé

Montrer que $ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ , puis en déduire que $e^{y} \geq y + 1$ pour tout réel $y$ .

Corrigé

La fonction auxiliaire. Posons $h (x) = x - 1 - ln x$ sur $] 0, + \infty [$ . Alors $h^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .

Variations. $h^{'} (x) < 0$ pour $x < 1$ et $h^{'} (x) > 0$ pour $x > 1$ : $h$ décroît puis croît, et atteint son minimum en $x = 1$ .

Conclusion. $h (1) = 1 - 1 - ln 1 = 0$ . Le minimum de $h$ vaut donc $0$ , d'où $h (x) \geq 0$ pour tout $x > 0$ , c'est-à-dire $ln x \leq x - 1$ .

La seconde inégalité. Soit $y$ un réel quelconque et posons $x = e^{y} > 0$ . L'inégalité précédente donne $ln (e^{y}) \leq e^{y} - 1$ , soit $y \leq e^{y} - 1$ , c'est-à-dire $e^{y} \geq y + 1$ .

Lecture graphique. La première inégalité dit que la courbe de $ln$ reste sous sa tangente en $1$ ; la seconde, que celle de $exp$ reste au-dessus de sa tangente en $0$ . Les deux énoncés sont symétriques l'un de l'autre.

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