Une inéquation par changement d'inconnue

Le changement d'inconnue. Posons $X={\mathrm{e}}^x$. Comme ${\mathrm{e}}^{2x}={\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2=X^2$, l'inéquation devient $$X^2-5X+6<0,$$ avec la contrainte $X>0$, puisque l'exponentielle est strictement positive.

Résolution en $X$. Le discriminant vaut $25-24=1$, et les racines sont $X=2$ et $X=3$. Un trinôme de coefficient dominant positif est strictement négatif entre ses racines : $$X^2-5X+6<0⟺2<X<3.$$ Ces valeurs sont bien positives : la contrainte $X>0$ n'élimine rien.

Retour à $x$. Il reste $2<{\mathrm{e}}^x<3$. La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0,+\infty \right[$ : elle conserve les inégalités, et $\ln ({\mathrm{e}}^x)=x$. Donc $$\ln 2<x<\ln 3,$$ soit, en valeurs approchées, $0,693<x<1,099$.

Contrôle. Pour $x=1$ : ${\mathrm{e}}^2-5\mathrm{e}+6\approx 7,389-13,591+6=-0,202<0$, et $1$ appartient bien à l'intervalle trouvé. Pour $x=0$ : $1-5+6=2>0$, et $0$ en est bien exclu.

Le point délicat. On n'écrit jamais ${\mathrm{e}}^{2x}={\mathrm{e}}^{x^2}$ : le carré porte sur l'exponentielle, pas sur l'exposant.