Accepter ou refuser un lot

La modélisation. La livraison étant grande, prélever $10$ pièces revient à répéter $10$ fois la même épreuve de façon indépendante : le nombre $X$ de défectueuses suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p$.

La règle de décision. La livraison est acceptée lorsque $X\le 1$, donc avec la probabilité $$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=(1-p{)}^{10}+10p(1-p{)}^9.$$

Pour $p=0,05$. $(0,95{)}^{10}\approx 0,5987$ et $10\times 0,05\times (0,95{)}^9\approx 0,5\times 0,6302=0,3151$. D'où $$P(X\le 1)\approx 0,5987+0,3151=0,9139.$$

Pour $p=0,20$. $(0,8{)}^{10}\approx 0,1074$ et $10\times 0,2\times (0,8{)}^9\approx 2\times 0,1342=0,2684$. D'où $$P(X\le 1)\approx 0,1074+0,2684=0,3758.$$

Lecture des deux résultats. Une livraison correcte ($5\%$ de défauts) est acceptée dans $91\%$ des cas : le contrôle refuse donc à tort près d'une livraison correcte sur onze. Une livraison mauvaise ($20\%$) est acceptée dans $38\%$ des cas : plus d'une fois sur trois, le contrôle laisse passer un lot qu'il aurait dû refuser.

Ce que cela montre. Un contrôle par échantillon ne décide jamais avec certitude : il se trompe dans les deux sens, et le calcul chiffre exactement ces deux risques. Les diminuer suppose d'augmenter la taille de l'échantillon.