Cinq appels d'offres

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques (ECT 1re année), chapitre 11 — Coefficients binomiaux et lois usuelles finies · Reconnaître une loi et l'exploiter

Énoncé

Une entreprise répond à $5$ appels d'offres indépendants, chacun étant remporté avec la probabilité $0, 4$ . Soit $X$ le nombre d'appels d'offres remportés. Donner la loi de $X$ , son espérance, sa variance, puis calculer $P (X = 2)$ et $P (X \geq 1)$ .

Corrigé

Reconnaissance de la loi. On répète $5$ fois la même épreuve — remporter ou non un appel d'offres —, avec la même probabilité de succès $p = 0, 4$ , de façon indépendante, et $X$ compte le nombre de succès. Les trois conditions sont réunies : $X$ suit la loi binomiale $B (5; 0, 4)$ , et $X (Ω) = [[0, 5]]$ avec $P (X = k) = (k 5) (0, 4)^{k} (0, 6)^{5 - k} .$

Espérance et variance. $E (X) = n p = 5 \times 0, 4 = 2$ appels d'offres remportés en moyenne, et $V (X) = n p (1 - p) = 5 \times 0, 4 \times 0, 6 = 1, 2$ , donc $σ (X) = 1, 2 \approx 1, 10$ .

Calcul de $P (X = 2)$ . $P (X = 2) = (2 5) (0, 4)^{2} (0, 6)^{3} = 10 \times 0, 16 \times 0, 216 = 0, 3456.$

Calcul de $P (X \geq 1)$ . On passe par l'événement contraire, qui ne demande qu'un seul terme : $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - (0, 6)^{5} = 1 - 0, 07776 = 0, 92224.$

Le point délicat. Calculer $P (X \geq 1)$ en additionnant les cinq termes $P (X = 1)$ à $P (X = 5)$ donnerait le même résultat, au prix de cinq calculs au lieu d'un. Le passage au contraire n'est pas une astuce : c'est la voie normale dès qu'apparaît « au moins un ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.