Combien de délégations ?

1. Toutes les délégations. Une délégation est une partie à $4$ éléments d'un ensemble à $12$ éléments : l'ordre du choix ne compte pas, et personne n'est pris deux fois. C'est donc

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{4}\right)=\frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1}=\frac{11880}{24}=495.$$

2. Exactement deux femmes. S'il y a deux femmes parmi les quatre membres, il y a nécessairement deux hommes. On choisit les femmes parmi $7$, puis les hommes parmi $5$, et les deux choix sont indépendants : on multiplie.

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=21\times 10=210.$$

3. Au moins une femme. On passe par l'événement contraire : « aucune femme », c'est-à-dire quatre hommes choisis parmi $5$, soit $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)=5$ délégations. D'où

$$495-5=490.$$

Contrôle. Décomposons selon le nombre de femmes, de $0$ à $4$ :

$$1\times 5+7\times 10+21\times 10+35\times 5+35\times 1=5+70+210+175+35=495.$$

On retrouve bien le total, et le troisième terme est bien les $210$ trouvés.

Le point à retenir. « Au moins un » se traite presque toujours par l'événement contraire, qui n'a qu'un seul cas. Et un choix en deux temps indépendants se compte par un produit de coefficients binomiaux, jamais par une somme.